对于具有α = 1,2, … ,N 个相和 i=1,2, … ,M 个组元的系统，其总自由能函数（F）为界面能密度（f ^intf）， 体化学自由能密度（f ^chem）和弹性能（Eel）的总和确定。

(1)

其中序参量, , 代表由向量 描述浓度场的相的局部体积分数，其中第 i 组元浓度场为 。在多组元多相相场法（MPFM）中，序参量满足:

(2)

根据序参量 和相组成 , 以及质量守恒原理，局部浓度 为:

(3)

PanEngine/PanDataNet 通过化学能密度f ^chem与MPFM相场耦合,

(4)

每个单独相的自由能 由PanEngine计算得出，对于给定的局部成分 和相场序参量 ，各个相成分 通过KKS模型 [1999Kim]确定。

为了获得每个相的浓度，假设所有组元在不同相中的局部扩散能力相等，其表达式为 [1999Kim]：

(5)

其中 α 和 β 代表不同的相，i 为组元元素。对于一组固定的序参量和成分场，相的成分可以通过方程 (3) 和 方程 (5) 唯一确定。

界面自由能密度为:

(6)

其中 和 是 界面两侧的的梯度能量系数和势能峰，它们共同确定了界面能 和边界宽度。其中，α 与 β 相之间的界面能 为：

(7)

弹性应变能控制粗化阶段颗粒的形貌以及变量选择。弹性应变能函数 通过Khachaturyan提出的微观弹性理论[2013Kha] 以及在MPFM框架下的修正方程获得 [2006Ste]。 公式中重要的输入量为每个相的无应力转变应变（stress-free transformation strain, SFTS）和弹性常数C_ijkl。

无应力转变应变（SFTS）通过下面的矩阵定义：

通常，这个SFTS矩阵的参考相通常为合金的基体相。以基体为面心立方（Fcc）相为例，如果析出相也为立方结构，当i=j 时，e₁₁ = e₂₂ = e₃₃ ； 当i≠ j 时，e_ij = 0。如果析出相为四方结构，根据析出相取向关系的不同，SFTS则可能是e₂₂ = e₃₃ ，e₁₁ = e₃₃ 或者 e₁₁ = e₂₂ 中的一个。其它的对称关系则可能形成更复杂的SFTS形式，这里不详细讨论。

当无外加应力场时，根据Khachaturyan的微观弹性理论 [2013Kha] 中均匀模数假设（homogeneous modulus assumption），连贯弹性应变能（coherency elastic strain energy）:

(8)

其中 p 和 q 代表两个相，n 是倒易点阵空间沿方向k的单位矩阵； 和 是结构序参量 绝对值的傅里叶变换和它的共轭复数。 为

(9)

在多组元多相相场法（MPFM）中，相场序参量 和Cahn-Hilliard 模型下浓度场参量 的演变规律如下：

(10)

(11)

其中， 是界面迁移率， 是局部共存的相数。 , 其中 和 分别是组元 k 和 n 的化学势。化学迁移率通过下式获得[2004Che]：

(12)

其中M^l是原子迁移率，c^l是第l个组元的成分。同时求解 方程 (10) 和方程 (11) 。

在析出模型中，对序参量的动力学进行了一些相关的处理：

• 驱动力的比例处理（Scaling）方法：在某些情况下，当模拟析出长大过程中，相变的驱动力数值很大，会导致数值不稳定。因此我们采取了比例处理方法来减小转变的驱动力。

• 序参量的迁移率：对于扩散控制的析出过程，序参量的迁移率 应该足够大才能确保扩散控制的界面发生移动。但是如果值太大，将会观察到等成分转变。因此，我们在相场模块中自动选择合适的值来保持扩散控制的假设。

• 界面宽度： KKS模型中的界面宽度仅仅为一个数值变量，并不能反映真实的界面宽度。为了数值稳定性，推荐使用界面宽度为5个格点。

其中 N_v 为形核质点密度, Z, Zeldovich 因子；β^*, 为原子吸附速率。 t 为时间, τ 形核的孕育时间。 k_B 是玻尔兹曼常数，T 是温度， ΔG*是形核能垒，可以根据界面能、化学驱动力和弹性能计算获得。详细的描述请参见析出模块介绍中析出相形核。

在相场模块中，形核的算法采用泊松种子概率形核过程，形成临界尺寸晶核的概率为[2019Shi]：

(14)

其中 P(r,t) 表示在时间t时，经过时间间隔 Δt，在位置r附近的体积ΔV 空间内形成临界晶核的概率。